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Introducción de los Números Arábigos en Occidente
La historia y las circunstancias de la introducción de la numeración indo-arábiga en Occidente son bien conocidas de los historiadores de las matemáticas, aunque no están muy divulgadas entre el gran público, como tampoco las dificultades que encontró dicho sistema numérico para imponerse a la numeración romana en algunos países y en ciertos sectores de la vida comercial. De ello trataremos de dar una somera visión en estas páginas.
Por: Esteban Hernández
Esteve
Como es sabido, a comienzos de la Edad Media se conocía y utilizaba en Europa un solo sistema numérico, el romano, que se valía de varios signos, materializando cada uno de ellos una cierta cantidad de unidades. Estos signos, representados por letras del alfabeto, eran: I, V, X, L, C, D y M. Como se aprecia, los números básicos eran el 1 y el 5, a los que se unían sus múltiplos: 10, 100 y 1.000, por un lado, y 50 y 500 por el otro. El único uso posicional que se hacía de ellos en un principio era el de que, comenzando por la izquierda, se establecía un orden de magnitud en la colocación de los signos: los de magnitud mayor precedían a los de magnitud inferior. Este orden se rompió en cierto modo cuando, en algún momento, para abreviar y facilitar la lectura, se empezaron a colocar signos de magnitud inferior a la izquierda de los signos de magnitud superior, significando que éstos quedaban disminuidos en aquel valor. Así, se escribió “siglo XIX”, en lugar de “siglo XVIIII”, como se escribía al principio; o “XIV”, en lugar de “XIIII”. En los reinos de Castilla, debido a que la unidad de cuenta monetaria, el maravedí, antigua moneda de oro hispano-árabe, había perdido casi todo su valor inicial con el paso del tiempo, hubo que crear otros artificios posicionales para que las columnas de cantidades en los libros de cuentas no alcanzaran una amplitud desmesurada. De esta forma, se inventó el calderón, signo en forma de U, que multiplicaba por 1.000 todas las cantidades a su izquierda, de igual forma que la abreviatura de cuento, qº, con el significado de un millón a efectos monetarios, multiplicaba por esta cantidad a todas las magnitudes a su izquierda. Véase, como ejemplo, la escritura que se daba en la Edad Media y parte de la Moderna a un millón quinientos mil maravedís: “I qº D U mrs”. A este tipo de numeración se la llamó “cuenta castellana”. Los territorios de la Corona de Aragón se libraron de la necesidad de utilizar este artificio numérico, pues mantuvieron el sistema monetario de origen carolingio, basado en la libra, que se subdividía en 20 sueldos y cada sueldo en 12 dineros.
Salta a la vista a los ojos del hombre moderno que la operatividad de este sistema no resultaba satisfactoria, aparte de que la capacidad de expresión de las cantidades numéricas resultaba bastante limitada, a pesar de los modos y artificios de cálculo, como el ábaco, que se habilitaron para procurar facilitar las operaciones. Asimismo salta a la vista la infinitamente mayor operatividad del sistema numérico indo-arábigo. Por eso resultan extrañas las resistencias encontradas para su implantación. En la India se inventó un sistema numérico diferente, totalmente posicional, con base decimal, que con sólo diez signos distintos entre sí y de cualquier letra u otro signo, podía expresar cualquier cantidad, sin limitación de magnitudes, al tiempo que ofrecía una facilitad operativa totalmente desconocida e imposible de alcanzar para la numeración romana. Este sistema fue perfeccionado y divulgado por los árabes y de ahí que sea llamado corrientemente numeración indo-arábiga. Parece que la aparición más antigua del uso de las cifras indias del uno al nueve en numeración posicional, con un espacio en blanco o vacío (sifr, en árabe) para indicar el cero, se produce hacia el año 595. Según se dice por parte de algunos autores, en 683 aparecen en Camboya y en Sumatra, regiones dominadas por China pero con mucho contacto con la India, los primero signos representando el cero con un punto o un círculo. Hacia el año 662 el obispo monofisita Severo Sebokht de Qennneshri, población siria a 40 km de Alepo, habla en una nota del sistema posicional indio con nueve números. Por lo que parece, ésta la primera referencia a los numerales indios de la que tenemos noticia. Decía así Sebokht en su nota:
“No voy a hablar de la ciencia de los hindúes ni del método elocuente de sus cálculos, ni de su numeración que va más allá de las palabras; quiero referirme a lo que han hecho con nueve cifras” (Ifrah, 1997).
Como es sobradamente conocido, la
numeración indo-arábiga fue sistematizada fundamentalmente
por el matemático árabe: Muhammad ibn Musa abu Djafar
Al-Khwarizmi. Su nombre, latinizado como “algoritmo”, ha
dado origen a un concepto aritmético, algoritmo, y a la
palabra española “guarismo”. No se sabe mucho de
Al-Khwarizmi, sino que nació hacia el año 780, muriendo
sobre el 850. Gozó de gran fama como astrónomo, matemático,
geógrafo e historiador. Aunque algunos autores dudan de que
naciera en Bagdad, como afirman otros, lo cierto es que
vivió en esta ciudad, llamado por el califa abasida Al-Mamun,
segundo hijo de Harun ar-Rashid, por todos conocido gracias
a las "Mil y unas Noches" (Baeza, s.a.), para que se
incorporase y fuese miembro de la Casa de la Sabiduría,
donde trabajó la mayor parte de su vida.
El primer europeo en escribir sobre los numerales indo-arábigos fue Gerberto de Aurillac, un monje benedictino francés –elegido Papa en los últimos años de su vida con el nombre de Silvestre II–. Según se cree, Gerberto de Aurillac nació en Belliac, pequeña población de la Auvernia, en la Francia centro-oriental, hacia el año 945. De inteligencia despierta, entró con pocos años en el monasterio de Saint-Geraud de Aurillac. Allí estudió el trivium. Con ocasión de una visita que el Conde Borrell de Barcelona, nieto de Wifredo el Velloso, hizo al monasterio el año 967, el Abad le rogó que se llevara a Gerberto con él a Cataluña, pues en Aurillac ya no podían darle las enseñanzas que las dotes intelectuales del joven monje requerían. Así lo hizo Borrell, conduciendo a Gerberto al monasterio de Santa María de Ripoll, donde permaneció hasta el año 970. En Ripoll estudió el quadrivium. El monasterio de Santa María de Ripoll, fundado por Wifredo el Velloso en 880, era un importante centro cultural, que contaba con una importante y famosa biblioteca, con numerosos volúmenes, entre los cuales se encontraban manuscritos árabes, así como traducciones de los mismos. En su mayoría estos manuscritos y estas traducciones habían sido copiados y realizados, respectivamente, en el scriptorium del propio monasterio. Esta riqueza documental puso a Gerberto en contacto con la numeración indo-arábiga y con los avances que estos pueblos habían realizado en materia matemática y astronómica. Se dice incluso que, atraído por la cultura sarracena, Gerberto, disfrazado de peregrino musulmán, se desplazó a Córdoba, la más importante ciudad de la España musulmana, que constituía un emporio cultural y contaba con una biblioteca con más de 400.000 volúmenes, incomparablemente mejor y más nutrida que cualquier biblioteca cristiana de su tiempo. Allí, según parece, asistió a las clases de una medersa, es decir, de una universidad musulmana. En el año 970 el Conde Borrell y el Obispo de Vic peregrinaron a Roma, y Gerberto les acompañó. Ya no regresó a España. Pero nunca olvidó los conocimientos que había adquirido en ella ni el tiempo pasado en la Marca Hispánica. Escribió varios libros que se hicieron famosos, especialmente el que redactó sobre el ábaco, Regulae de numerorum abaci rationibus, que fue texto de referencia durante mucho tiempo. En él se explicaban ya los numerales arábigos, que, sin embargo, no figuraban escritos. El primer escrito occidental donde aparecen los numerales indo-arábigos, aunque sin incluir el cero, es el Codex Vigilanus o Albeldensis, llamado así en honor de su autor, el monje Vigila, que fue terminado en el scriptorium del Monasterio de San Martín de Albelda (Rioja) el 25 de mayo de 976, y que se custodia actualmente en la biblioteca del Real Monasterio de San Lorenzo de El Escorial. Vigila era uno de los 200 monjes que vivían a la sazón en el monasterio de San Martín, hoy día desaparecido. El Códice contiene una amplia recopilación de textos de derecho canónico y civil, incluyendo una colección completa de los concilios españoles, los cánones de todos los concilios generales, una selección de otros cánones y las decretales de los pontífices hasta San Gregorio Magno, contemporáneo de San Isidoro, así como también el Liber Iudiciorum del año 654, promulgado en la época visigoda. El Codex Vigilanus es un manuscrito impresionante, de 429 hojas de pergamino fino de 445 x 325 milímetros, con un peso total de 26 kilogramos. Esta escrito a dos columnas, en letra visigótica, salpicadas en su texto con bellísimas miniaturas e ilustraciones.
“Y también a propósito de las cifras de la aritmética. Es necesario saber que los indios poseen una inteligencia muy sutil y que los restantes conceptos les ceden el paso en lo que concierne a la aritmética, la geometría y demás disciplinas liberales. Esto se pone de manifiesto de la mejor manera en las nueve figuras a través de las cuales expresan cada grado de no importa qué nivel. Esta es la forma” (traducción de Requena, 2004, p. 307). A continuación, figuran las cifras de la forma que se ve en la ilustración. Juan Vernet en su libro
Estudios sobre la historia
de la ciencia medieval se pregunta de dónde
sacaría Vigila el conocimiento de los números árabes, y no
parece muy convencido de la explicación ofrecida por Marcel
Destombes (1962, pp. 7 y 21) de que lo obtuvo en el
Monasterio de Santa María de Ripoll (Vernet, 1979, p. 549).
Sin embargo, parece que posteriormente cambió de opinión,
pues en un artículo en que se anuncia la Exposición
“La Vida de los Números”,
celebrada en la Biblioteca Nacional de Madrid
desde el 7 de junio hasta el 10 de septiembre de 2006 como
uno de los actos asociados
al XXV Congreso Internacional de Matemáticos, que se celebró
por primera vez en España los días 22 a 30 de agosto de ese
mismo año, la autora comenta que
“Según el historiador Juan
Vernet el monje Vigila había estado en Ripoll, centro que
estaba en contacto con la ciencia árabe y al que se supone
había llegado la noticia de los números indoarábigos”
(Veguín, s. a. [2008]). El propio Antonio J. Durán,
Comisario de la Exposición y experto historiador de las
matemáticas, se suma a esta opinión, pues en su trabajo
“History of Mathematics.
Figures
at El Escorial Library”,
publicado en el volumen editado con motivo del
International Congress of
Mathematicians, comenta lo siguiente:
“Everything that the monk
Vigila wrote about numbers in the Codex, he had learnt in
the Catalonian Benedictine monastery of Santa María de
Ripoll, when he attended a dedication around 976”
(Durán, 2006, s. p.). Parece extraña, sin embargo, la
última frase, pues, según dice él mismo unos párrafos más
arriba, el 25 de mayo de 976 se había finalizado el
Codex Vigilanus,
y no hay que olvidar que los números árabes figuran al
principio, en el folio 12. Por otra parte, esta es la misma
duda que le asaltó a Juan Vernet para no confiar en las
afirmaciones de Destombes, pues según éste, la visita de
Vigila con motivo de una consagración había tenido lugar en
977.
En cualquier caso, no parece que este códice calara hondo en los medios matemáticos e intelectuales de la época, seguramente por falta de difusión, pero tampoco caló el Regulae de Gerberto de Aurillac, a pesar del amplio conocimiento y la utilización que se hizo de su ábaco, que fue llamado “ábaco de los claustros”, y que presentaba la novedad de que las fichas o cospeles que se situaban en las casillas o líneas llevaban grabada en números árabes la cantidad que representaban. Pero las explicaciones teóricas sobre el sistema numérico decimal debieron de ser consideradas como una curiosidad científica, más que como la presentación de un formidable sistema operativo. El Liber abaci, de Leonardo Fibonacci, redactado en latín el año 1202, que, a diferencia de los textos anteriores, fue el primer libro completo de aritmética práctica utilizando los numerales indo-arábigos, parece que tuvo más suerte, aunque Luigi Boschetti piensa “che il suo trattato (de Fibonacci) rimase nell’oscurità per lungo tempo; e fu Giovanni di Sacro Bosco, che primo si valse di tali cifre nell’opera de Sphaera, pubblicata in Parigi verso la metà del Secolo XIII” (Boschetti, 1834, p. 9). Como se ha visto, Fibonacci llamó a su obra “libro del ábaco”, lo mismo que hicieron los autores posteriores, porque ésta era la denominación dada corrientemente a los libros de aritmética. Sin embargo, no era la denominación correcta, porque no usaba numerales romanos ni, consiguientemente, el ábaco en los cálculos, sino la pluma, como se llamaba a la forma de calcular con los números árabes. A pesar de las palabras de Boschetti, el ejemplo del Liber abaci fue ampliamente seguido y, en los siglos siguientes, se multiplicaron los manuscritos sobre aritmética mercantil utilizando los nuevos números, aunque conservando la antigua denominación. Parece que en esta afluencia de libros de ábaco pudo tener influencia la segunda oleada de cruzadas, con el impulso que dio al comercio italiano y el contacto con los países árabes que llevó consigo. Warner van Egmond, que ha estudiado la cuestión, localizó más de trescientos textos distintos anteriores a 1500, la mayoría de los cuales describe en su importante libro Practical Mathematics in the Italian Renaissance; a Catalogue of Italian Abbacus manuscripts and printed book to 1600 (1980). Después de la publicación del mismo se identificaron, según el autor, una docena más (Egmond, 1988).
Por su parte, Hofmann indica que el primer manual de mercaderes donde se enseñó el uso de la numeración arábiga, con indicación de que podía servir para llevar los libros de cuentas, lo escribió Paolo Dagomari, que vivió desde 1281 hasta 1374 (Hofmann, 1960, I, p. 88). Paolo Dagomari fue un célebre maestro de ábaco florentino que estableció en la Santa Trinità una “celeberrima bottegha d'abacho, (ecco la vera origine del soprannome), da cui passarono, nel corso della sua carriera, circa diecimila studenti” (Mancini, 1882, p. 41). El sobrenombre al que se refiere Mancini es el de Paolo Dell’Abbaco, con el que era fami-liarmente conocido. El libro al que se refiere Hofmann es el famoso Trattato d'Abbaco, d'Astronomia, e di segreti naturali e medicinali, compuesto en 1339, que hizo a su autor conocido en toda Europa. Todos estos manuales de aritmética mercantil presentan semejantes características y estructura. Utilizan numerales indo-arábigos, describen el sistema de numeración posicional en base decimal, explican las operaciones y reglas esenciales: suma, resta, multiplicación, división, regla de tres, y tienen un carácter eminentemente práctico, insertando buen número de problemas resueltos. De acuerdo con sus propósitos, carecen de todo tipo de aparato erudito, están escritos en lengua vernácula y se centran en lo que realmente interesaba a los mercaderes, hombres de negocios y a todos aquellos que quisieran aprender la nueva aritmética (Caunedo, 2003, p. 37).
Pero, a pesar de la abundancia de textos italianos propugnando y enseñando el nuevo sistema numérico, lo cierto es que pasaron muchos años para conseguir que la numeración romana quedara fuera de uso. En Italia, la prohibición de utilizar numerales arábigos en la columna de cantidades de los libros de cuentas fue general, so pretexto de que dichos números eran más fáciles de adulterar que los romanos.1 Por otra parte, la pugna entre los algebristas, partidarios de los numerales indo-arábigos, y los abaquistas, partidarios de la numeración romana, fue intensa y prolongada. Por lo menos, esto parece desprenderse de la rivalidad sostenida todavía en el siglo XVI, si no en Italia, al menos sí en Alemania a juzgar por las portadas y grabados de algunos libros de la época. Así ocurre, por ejemplo, en la ilustración aparecida en el conocido libro Margarita Philosophica de Gregor Reisch, publicado en Friburgo el año 1503. En ella aparece la diosa Aritmética presidiendo una competición de cálculo aritmético entre Boecio y Pitágoras. El vestido de la diosa aparece salpicado de guarismos árabes y su actitud es claramente favorable a Boecio, que emplea la numeración indo-arábiga y usa la pluma para hacer sus operaciones, mostrando un rostro satisfecho y alegre, pues ya había acabado la tarea. Pitágoras, por el contrario, que emplea la numeración romana y utiliza el ábaco, pintado sobre la mesa, tiene un semblante triste y contrariado, pues no ha podido terminar todavía. Al cálculo con números árabes le llamaban en Alemania “cálculo sobre las líneas”, pues tenían que utilizar el ábaco para hacer las operaciones. El grabado del libro de Gregor Reisch es sólo un ejemplo más, aunque tal vez el más significativo, de los numerosos libros alemanes del siglo XVI conteniendo grabados de personas realizando operaciones aritméticas por los dos sistemas de numeración como ilustración del enfrentamiento que existía entre ambos. Es éste un tema muy interesante, como todos los relativos a la introducción de los números arábigos en Occidente, en el que, sin embargo, no podemos entrar más ampliamente por las lógicas limitaciones de espacio. En todo caso, se puede afirmar que, dejando aparte Italia, el uso generalizado e indiscutido de los numerales arábigos en Occidente, en detrimento de los números romanos, no fue realidad hasta finales del siglo XV o comienzos del XVI. ______________________________________________________________________________________________________________ 1 Así lo hace el Statuto dell'Arte di Cambio, emitido por el Ayuntamiento de Florencia en 1299, en su rúbrica CI. Ese mismo año, las autoridades de Venecia toman esa misma medida. Todavía en 1348 la Universidad de Padua determinó que el catálogo de sus libros llevara los precios escritos en números romanos: “non per cifras, sed per literas claras”. ______________________________________________________________________________________________________________ Bibliografía
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En efecto, Al-Mamun
continuó el enriquecimiento de la ciencia árabe y de la
Academia de Ciencias creada por su padre, llamada la Casa de
la Sabiduría, a la que procuró incorporar a los sabios más
importantes de Oriente. De ahí estiman algunos autores que
nació el conocimiento de los numerales indios por parte de
Al-Khwarizmi, permitiéndole divulgarlos a todo el extenso
mundo árabe de aquella época. A estos efectos son
importantes, sobre todo, dos obras básicas suyas: la primera
fue 
Solamente aparecen nueve cifras
indo-arábigas, pues no se consigna el cero, y están
escritas en orden creciente a partir de la derecha, al
estilo árabe, en el folio 12 vº del manuscrito, como final
de un breve comentario sobre la creación del mundo, con
algunos rudimentos de aritmética, geometría y astronomía
tomados del libro III de las Etimologías que San Isidoro
escribió poco antes de su muerte en el año 680 (Durán,
2006). El texto que se refiere a los numerales indo-arábigos
dice así:
En cualquier caso, dada la vinculación de los
monasterios benedictinos entre sí y dadas las actividades de
estudio e investigación de la cultura árabe desarrolladas en
el monasterio de Santa María de Ripoll no parece
descabellado, sino muy plausible, que el monje Vigila
hubiera conocido los numerales indo-arábigos en alguna
visita efectuada a dicho monasterio.
